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2020年3月29日 (日)

音楽と数学(組み合わせ)

コロナで自粛中なので、久しぶりの音楽と数学を書きます。

今回のは数学的には簡単です。音楽的には難しいかもしれません。

皆さんディミニッシュスケールというのをご存じでしょうか?
知らない方のほうが多いと思いますが、ではディミニッシュコードというのは聞いたことがあるのではないでしょうか。

ギターで歌謡曲の伴奏を弾いたことがある人は、何とかdimというコードに出くわしたことと思います。
これがディミニッシュコードです。

さてこのディミニッシュコードは、ルート音から短三度の音を重ねていった音で構成されます。
たとえばCdim7であれば、Cdim7={C,Eb,Gb,A}という音の集合です。

この構成を12音の円環で表すと下のようになります。

Dim1_20200329124501

図1 Cdim7の構成

図の円の内側の四角形の頂点がディミニッシュコードの構成音です。
この図を見てわかるように、1オクターブを4つに分けたものがディミニッシュコードです。
1オクターブには12音あるので、実はディミニッシュコードの構成音のパターンは3つしかないことが分かります。

Dim2 

図2 ディミニッシュコードの構成パターン

さて、ここでディミニッシュスケールの話に移りましょう。
ディミニッシュスケールは、3つあるディミニッシュコードの構成音のうち2つ分を使用したものです。

さてここで数学です。
3つある構成音のうち2つ分を使用した場合、何パターンのスケールが作れるでしょうか?

答えは3つです。計算方法は次の式の通りです。

3C=3!/(2!×(3-2)!)=3×2×1/(2×1×1)=3

これは3つのものから2つのものを選択した組み合わせ数を表しています。!(エクスクラメーション)はその数字以下の整数を全て掛け合わせることを意味しています。
選択した2つを赤い四角で表し、その頂点を連結すると以下の3つの図のようになります。

Dims2

図3-1 ディミニッシュスケール1

Dims1

図3-2 ディミニッシュスケール2

Dims3

図3-3 ディミニッシュスケール3

しかしnCなんて普通の生活に使う人いないよなぁ。
ちなみに12音階から7音を選択してスケールを作ろうと思ったら何通りあるか?は次の式になります。

12C=12!/(7!×(12-7)!)=12×11×…/(7×6×…×5×4×…)=792

このうちルート音をシフトすると同じになるものがあるため、12で割ると66。
意外とありますね。

さて、ディミニッシュスケールはディミニッシュコードの時はもちろん、セブンス(属7)コードの際にも使用できます。
例えばC7の構成音を青点で表し、その構成音を含むディミニッシュコードは図3-2のスケール上に載ることがわかります。

Ccondim

図4 Cコンビネーションオブディミニッシュスケール

ただしセブンスのルート音から始まる場合、コンビネーションオブディミニッシュスケールという長ったらしい名前になります。
もしC7のコードが演奏中に出てきたら、Cの半音上C#/Dbからのディミニッシュスケールと考えることもできます。
スケールの名前なんてどうでもいいと思う人は、ルートとその半音上のdim7コードが構成音ということを思い出せばOKということですね✌

 

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