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2019年9月21日 (土)

音楽と数学(微分積分)その3

さて涼しくなってやる気が出てきたので音楽と数学(微分積分)の続きです。

音量と微分積分が関係あると書いたままでした。

ギターやピアノや弦楽器などは、弾く強さを変えると音量が変化します。
これらの楽器は車の加速と同じで、音が出ているところに、音量が減衰しないうちに力を加えることで音を維持したり、さらに強い力を加えることで音を大きくします。
一応これらの楽器も微分積分と関係していますが、音量の減衰を含むため説明が難しいので今回は省略💦
その代わりに分かりやすい管楽器の方について説明します。

日本人なら義務教育時代に縦笛を吹いたことがあるでしょうから、一億総管楽器奏者と言っても過言ではありません。
なので皆さん全員が管楽器奏者という前提で書きます(笑)

では管楽器で音量を一定に保つにはどうしますか?

多分、アンブシュア(口と顎の形)を固定して、息を強くしたり弱くしないで一定の息の量を出すと思います。

その時の音量と時間のグラフは次の通りです。

Volume_1

あれ?どこかで見た図だと思ったら、音楽と数学(微分積分)その1の時間と速度のグラフとそっくりですね。
ちなみにdBはデシベルという音量の単位で、60dBは人間の会話の音量ぐらいになります。
音量も数字で表現できるので、音楽と数学はすでに関連がありますね。
また、時間の単位が前回はh(時間)でしたが、息を1時間も出し続けられる人はいないので、秒の単位のsに替えました。

この60dBの音を管楽器で出すにはどうするかと言うと、前述したように一定の息の量で出さないといけません。
息は気体なので、息の量の単位はℓ(リットル)を使った場合、このように一定の音量を出すには、楽器によって同じ音量にならないことがあります。
ですので、ここでは不定な値としてXを使いますが、その場合の一定の息の量を、一秒あたりの息の量として息の速度(ℓ/s)と表した場合に、次のグラフのようになります。

Vvelo_1

ここまでは音量の単位を変換しただけですね。
では、この息の速度を息の量から考えるとどうなるか?それが下のグラフです。

Vvelo_2

これも見たことがある図だと思ったら、音楽と数学(微分積分)その1の時間と距離のグラフと単位が違うだけですね。

つまり、速度と言うものは時間あたりの何らかの量を表していて、その累積が距離だったり息の量だったりします。
微分というのは、ある時間までに何かの量が変化した場合に、その変化量を細かい時間で表したもので、逆に積分は字の通り、細かい時間の変化量が積み重なった場合の全体量を表すということです。

今回は時間を分割する単位に使いましたが、微分積分では時間だけでなく、ある方向の変化が、別の方向の変化に影響を与える場合などでも使いますが、高校での微分積分はそちらの方を先にやるので理解がし難いのではないかと思う次第です。
中学で速度のグラフとかは扱うんですけどね。

余談ですが、音楽では音量の記号としてcrescendoやdecrescendo、ff、ppなどというのもあります。
これも管楽器の場合には、アンブシュアが固定かつ同じ楽器という前提で、息の速度を変えることで実現します。
ただし息の速度を上げると、管楽器の菅内の空気の圧力が上がり、逆に息の速度を弱めると圧力が下がります。
そして、アンブシュアを変化させると息の量は同じでも空気の圧力を変えることができます。
さらに、圧力が変化すると音程が若干変化します。
上手な演奏者は、その辺の理屈を練習や経験によって調整できるようになっているということです。
しかも楽器によっても変わるし。
これだけでも音楽って奥深いですね。

では今日はここまで。

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