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2016年6月18日 (土)

音楽と数学 (関数) その3

前回は、一音に対しての変化を関数で表しました。
では、三音ではどうなるかを、CとGのコード進行で考えてみます。このコード進行はご存知の通り「メリーさんの羊」を始めいろんな曲で使われています。

キーボードで見てみるとCのコードの構成音は、C・E・Gですので、下のキーボードの丸の位置を押さえます。

Chord_c0次にGのコードですが、構成音はG・B・Dですので、下の丸の位置を押さえます。

Chord_g0_3

さてこの時に指の動きはどうなるでしょう?
たいていの人はそのまま横に移動すると思います。そして大体は親指がCの位置からGの位置、中指がEの位置からBの位置、小指がGの位置からDの位置、というような動きになると思います。

親指に着目して、前回 21/12 を定数 K で表した場合、親指の関数は、

f(C) = C × K7 = G

という変換で表せます。

では他の指はどうなるか?というと、実は並行移動でなので、

f(E) = E × K7 = B

f(G) = G × K7 = D

という風に K7を使うことで全て表せます

まとめると、

f(C,E,G) = (C,E,G) × K7 = (G,B,D)

というように、順番もこの通りに変換されます。
しかし、早い曲などでは上記のようにいちいちコードを並行移動して演奏するのは至難の技です。
ですので、最初のCのコードからあまり指を動かさないで、下のようなGのコードを弾くことが普通です。これを展開形と言って、GのコードですがコードネームとしてはG/Bとも書きます。

Chord_g2この場合、親指はCの位置からBの位置、中指はEの位置からDの位置、小指の位置はそのままになります。
さてそうなると先ほどの関数はどうなるかというと、C・E・Gの音はそれぞれ、

f(C) = C × K(-1) = B

f(E) = E × K(-2) = D

f(G) = G × K0 = G × 1 = G

というふうになります。
さてこれは上の場合のように、まとめて書けそうになさそうですね。
どうしましょう?

実はいい方法があるんです!
数学が得意な人はもう気づいたかもしれませんが、また次回

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