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2015年10月 3日 (土)

音楽と数学(集合) その1

今回はアドリブに関連のある「集合」という分野について書きます。

なんで「集合」とアドリブが関係があるんだ?暇な人が集合するとアドリブができるのか?・・・とそういうことではありません。
数学で集合というと、{1,2,3,...}と言うような集まりです。
数字だけではなくて、{A,B,C,...}でも集合です。
もうなんとなくわかった人もいるかもしれませんが、音楽だとAといえば基準音440Hz辺りの2の乗数が周波数になりますが、今回は周波数の話は除いて、単なる音としてのAやBを考えてみます。
一般に曲はトニック、ドミナント、サブドミナントというコードで構成されますが、例えばKeyがCの場合には、トニックコードの集合は{C,Em,Am}、ドミナントコードの集合は{G,Bm-5}、サブドミナントコードの集合は{Dm,F}になります。
マイナーコードが入ると面倒臭いので、今回は単純にその中からC,G,Fのメジャーコードで曲ができる場合を考えます。
つまりCとGとFのメジャーコードは、それぞれⅠのコード、Ⅴのコード、Ⅳのコードと呼ばれ、単純なブルースではこの3つでとりあえず曲になりますし、実は複雑な曲でも一つのキーの中では、強引に置き換えると、この3つにすることができます。
さてここでCのメジャーコードで使えるアベイラブル(利用可能な)スケールは何かと言うと・・・
話が長くなるので、メジャーのペンタトニック(5音スケール)だけで今回は考えることにします。
しかし、ペンタトニックを侮るなかれ。これを本気でマスターすればちゃんとアドリブをすることが可能です。
まずCのメジャーコードでのペンタトニックは、{C,D,E,G,A}の音の要素の集合です。
同様にGは{G,A,B,D,E}、Fは{F,G,A,C,D}になります。
つまり各コードの時にこの音を弾けば間違いないということです。
この3つの音の集合を並べてみます(一部順番を替えます)。
Cペンタトニックの構成音:{C,D,E, G,A}
Gペンタトニックの構成音:{  D,E,   G,A,B}
Fペンタトニックの構成音:{C,D,  F,G,A}
ここで何か気付きませんか?
そうです。3つに共通する音が{D,G,A}=Dsus4コードの構成音で、ずっとこの3音を鳴らし続ければ、Cのブルースで音が外れることがないということです。
これを数学的に扱うと、
{Cペンタトニック}∩{Gペンタトニック}∩{Fペンタトニック}={Dsus4の構成音}
ということです。∩は積集合を表していて、ソフトウェアのプログラムや論理計算でいうANDを意味します。
ちなみにANDがでてきたので、和集合であるORを前述のペンタトニックで考えると、

{Cペンタトニック}∪{Gペンタトニック}∪{Fペンタトニック}={C,D,E,F,G,A,B}={Cメジャーのダイアトニックスケール}

になります。
さてそうは言うものの、3音ばかり弾くのも飽きるし、カッコよくないなぁとみなさん思うでしょう。
まぁそりゃそうですね。次回以降からじゃぁどうすべきかを考えていきましょう。

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