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2015年8月30日 (日)

音楽と数学(円) その5

先日、某県知事が自分はコサインなんて一回しか使わなかったと言ってましたが、逆にどこで一回つかったのかが気になる今日この頃いかがお過ごしでしょうか?

さて今日は音楽と数学の番外編で、数学の話でもしましょう。
前述の知事と違いまして、私の場合は大学を卒業してからコンピュータのソフトウェアで用いる、幾何学演算ライブラリを作ったり、音響解析のライブラリを作ったり、その他もろもろのライブラリを作成してきました。
こういうことをやっているからきっと知事にはなれないのでしょう(笑)
学生の皆さんは数学の公式は覚えないといけないと思っているかもしれませんが、音楽と数学(円) その4で書いたように一つだけ覚えておけば他のも推測がつくものがあったりします。
例えば、球の体積と表面積。円の面積と円周。これは理系の大学に行った人ならば、微分と積分の関係というのがわかります。
下にxの二乗のグラフがあります。

 

X2graph

ここで、xの二乗のx=aとそこからd離れたx=a+dの時の2点を通る直線の傾きは、

Δy/Δx=((a2+2ad+d2) - a2)/d=(2a+d)
でdを限りなく小さくしていくと、
Δy/Δx=2a
になります。ここでaはx軸上を自由に動くので、あるX座標xでの、y=x2の接線の傾きは、2xということで、二次関数の接線の傾きから見ると、
・元の関数の乗数が一つ減る
・係数に元の関数の乗数がかけられる
ということになります。
これは実は微分という行為で、この逆の行為が積分になります。
逆ということは、
・元の関数の乗数が一つ増える
・係数に変換先の関数の乗数が割られる
ということになります。
これはxnの関数であれば一般的に当てはまります。
(ちなみにあらゆる関数はテイラー展開すればxnの合成で作れるので全てに当てはまるということになります)
ここで先に書いた、球の体積と表面積。円の面積と円周。これもrを変数として当てはまります。
(球の体積) :4/3 πr3
(球の表面積) :4πr2
  ↑ 4をかける
  ↓ 4で割る
(円の面積) :πr2
(円周の長さ) :2πr
覚え方は、4/3 πr3だけ覚えて微分方向に行くか、2πrだけ覚えて積分方向に行くかですが、前者の方法が覚えやすいのではないでしょうか?
ちなみに球と円の面積が4違うのは、∮dθと∮sinθdθの積分での差ですが、中学レベルでの説明は不可能なので省略します
これについては実験している動画がありましたので、参照してみてください。「4倍の差」
そして今まで「音楽と数学」で円を分割して角度で音程を示しましたが、実は度(degree)ではなく、ラジアン(radian)で表した場合は、円周(円弧)の長さと角度が一致するので、音程や音長表記に使えるということになります。
そうすると音程を積分すると?音長を積分すると?
波のエネルギーには二乗が絡んでいたような・・・
では今回はこんなところで。

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