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2015年7月18日 (土)

音楽と数学(確率)

さて前回は、音程を座標の回転で表しました。

これを童謡「ちょうちょう」をサンプルとして考えてみます。
音列を集合で表すと次のようになります。
{ ド、レ、ミ、ド、レ、ミ、ソ、ミ、レ、ド、レ、ミ、レ、
 ド、レ、ミ、ド、レ、ミ、ソ、ミ、レ、ド、レ、ミ、ド、
 ソ、ソ、ミ、ソ、ラ、ラ、ソ、ミ、ミ、レ、レ、ド}
例えば前回の円上での半音(30°)の回転移動を、rot30(下がるときは-rot30)みたいに表現すると、最初の音を0として、そこからの回転移動で表した場合、次のような集合になります。(例えば、ド→レがrot60、ソ→ミが-rot90)
{rot60、rot60、-rot120、rot60、rot60、rot90、-rot90、-rot60、-rot60、rot60、rot60、-rot60、
 rot60、rot60、-rot120、rot60、rot60、rot90、-rot90、-rot60、-rot60、rot60、rot60、-rot120、
 rot120、rot0、-rot90、rot90、rot60、rot0、-rot60、
-rot90、rot0、-rot60、rot0、-rot60}
この集合で、-rot120、-rot90、-rot60、rot0、rot60、rot90、rot120、の出現個数を数えてみると、それぞれ、3、4、8、4、13、3、1となりグラフで表すと、下のようになります。
Chocho
このグラフから、全音上昇(-rot60)の出現確率は、
 13 / (3+2+8+4+13+3+1) = 13 / 36 ≒ 36.1(%)
次に多い全音下降(-rot60)は、8/36≒22.2(%)
その次が同率で同音(rot0)と短三度下降(-rot90)で4/36≒11.1(%)
つまり±全音内のパターンだけで、ほぼ70(%)になります。
童謡をちゃんと調べてはいませんが、歌いやすさや覚えやすさなどから、ほぼこの結果と同じように、次の音の移動は±全音になると思います。
そして皆さんも想像つくと思いますが、曲のメロディーで、クリスタルキングの大都会みたいな一オクターブ上昇や下降はあまり見ないと思います。
そしてラップやさだまさし先生のようなメロディーだと、一音がことごとく続くことになり、rot0の値が青天井になることが予想できます。
ここで注意しないといけないのが、今回ちょうちょうで分析しましたが、この曲ではドの半音上などは出てきません。
これはちょうちょうが長調(だじゃれじゃないよ)の音階なので、転調しない限りは、その音階に含まれる音が使われるからです。
つまり、メロディーは音階上で近い音に移動する確率が高い!という当たり前のことを今回述べただけです
しかし!ジャズなどのアドリブに関しては、この確率や音列パターンを崩すことが人間心理上、重要になってくるのです。
この辺はまた後日。

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