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2015年3月15日 (日)

音楽と数学(円) その2

さて間に黄金比がはさまって、音楽と円の関係について書こうとした前回から間があいてしまいました。

前回は、音高と円について書きました。そしてリズムの方もみなさん薄々感じていると思いますが、もちろん円と関係があります。

特にポピュラーでは8ビートやその他もろもろのリズムは基本単位を繰り返すのが普通です。

そしてインドの音楽でも、繰り返しのリズムのパターンは「ターラ(tala)」と呼ばれます。、ちなみに音のスケールは「ラーガ(raga)」と呼ばれ、ラーガとターラでインド音楽は構成されています。それはさておき・・・

わかりやすいので8ビートを考えます。

8ビートの構成要素は何でしょうか?

まずバスドラムが4分音符、それにスネアドラムがパターンが2拍目と4拍目。その上にハイハットの刻みの8分音符。この3つが基本です。

このパターンを円に置き換えると、バスドラムが円を4つに分けます。

さてこれを図であらわしましょう。

8ビートの周期(1小節分)の時間をTとして円の1周であらわし、周期の開始タイミングをt0とすると、円上での経過時間tを角度に変換し、その角度θは以下になります。

θ = 360° × ( t  / T + t0) 

バスドラムの鳴るタイミングtは、バスドラムの周期はT/4となるため、

t = n × T / 4        (ただし、n=0, 1, 2, ・・・)

ここでテンポを♩=60で考えると、T=4(秒)となって、t0とtの単位も(秒)にしてみます。面倒臭いのでt0もとりあえず0(秒)にすると、

θ = 360 °× n / 4 (ただし、n=0, 1, 2, ・・・)    ①

まぁ単位をいれても結局角度になっちゃうので、どうでもよくなっちゃいますね。

次に同様に計算するとハイハットのタイミングは、ハイハットの周期がT/8のため、以下のようになります。

t = n × T / 8        (ただし、n=0, 1, 2, ・・・)

で角度は、

θ = 360 °× n / 8 (ただし、n=0, 1, 2, ・・・)  ②

です。
最後にスネアドラムですが、こちらは最初に叩くタイミングが2拍目(=T/4) で、叩く周期はT/2なので、

t = n × T / 2 + T / 4 = ((2n  + 1)T)/4        (ただし、n=0, 1, 2, ・・・)

となり、角度は、

θ = 360 °× (2n + 1)/ 4 (ただし、n=0, 1, 2, ・・・)  ③

です。
以上の①②③から、nに数値をあてはめてみると、それぞれの発音タイミング角は次のようになります。
バスドラム:{ 90°, 180°, 270°, 360° (=0°)}
ハイハット: { 45°, 90°, 135°, 180° , 225° , 270° , 315° , 360° (=0°)}
スネアドラム: { 90°,  270°,  450°(=90° )}
以上を図に示すと次のようになります。(バスドラム:赤、ハイハット:青、スネアドラム:緑)
Loop
今日はこの辺で。

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