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2015年2月 7日 (土)

音楽と数学(円)

そろそろ音楽と数学も、高校の数学範囲のものを書こうと思います。
一般的なピアノだと一番左のラの音から一番上のドまでに88個の白と黒の鍵があり、7オクターブぐらいの音が出せます。
つまり白鍵だけをみると、下からラシ、その後、ドレミファソレシの繰り返しが7回、最後にドの音が出せます。
各音には、空気の振動する周波数が割り当てられていていて、ある音の1オクターブ上の音は周波数が2倍。2オクターブ上は4倍。その後は8倍、16倍、32倍、64倍…と2のn乗倍(n=1,2,3,・・・)という関係が成り立ちます。
ということで、周波数のことを忘れるとドレミファソラシはずっと繰り返すことになります。
これを図示したのが、音程の円形表示(リンク参照)です。
このように音程を表すために必要なことがcos(コサイン)、sin(サイン)などの三角関数です。
特にcos、sinを知らないと先に進めないので、簡単に説明します。
Sincos左図のような垂直座標系で、原点Oを中心とする半径1の円を考えた時に、円上の点Qと、そこから横軸に垂直に下した点Pを定義します。

 

 

 

このときの線分OPと、線分OQがなす角∠POQをθ(シータ)(θは0°~360°の範囲)とすると、

 

 

 

線分OPの長さ=cosθ
線分PQの長さ=sinθ
が成り立ちます。
そして三平方の定理から、
sin2θ+cos2θ=1
が成り立ちます。三平方というぐらいですから、各辺の2乗が三つあって、斜辺の平方値は残りの2辺の平方値の和になるという定理ですね。
あ、他の場合と違って、sinとcosなどの三角関数の場合に乗数を書くときは、それぞれのすぐ横に書くのが決まりですので注意してください。
というわけで、まだまだ先は長いので、まずは今回はこれをしっかり覚えて帰って下さい

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