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2014年8月 3日 (日)

音楽と数学(対数) その1

「音楽と数学(べき数) その3」

で、純正律とピタゴラス律が平均律からどれぐらいずれているかのグラフを描きました。
今日は夏休み特別企画、『遠くて近いはクォータートーン』ということで、譜面にはあまり出てこないクォータートーン(Quarter Tone:四分の一音)について、セントの説明と絡みつつ書きたいと思います。
セント(Cent)とは、ドルを100に割った単位だったり、似た言葉にセンチという言葉もありますが、100分の1を表す単位です。音楽ではチューナーにこっそりセントと書いていると思いますが、半音を100分の1してセントと呼んでいます。
つまり一オクターブは12個の半音があるので、1200セントということになります。
これは平均律を基準に考えているので、他の音律に含まれる構成音は、これに対してどれぐらいずれているかを半音を100分割して考えることができるので非常に便利です。
綺麗に聞こえる和音は単純な整数比になります。例えば完全五度は3/2、純正律の長三度は5/4ということで、これが意味するのは基音を440Hzとすると、完全五度は660Hz、長三度は550Hzになるということです。
和音が綺麗に聞こえるということは、二つの音の波が何秒おきに重なるかの度合いで決まります。
440Hzと660Hzでは1/440(秒)の波と1/660(秒)の波が存在し、何秒おきに重なるかというと、分母に着目し440Hzの方は11×5×23、660Hzは11×5×22×3に素因数分解できます。
ということで、分母は最小公倍数でそろえて11×5×23×3=1320となるため、それぞれの波の長さは3/1320(=0.002272..)(秒)、2/1320(=0.001515..)(秒)となります。
このため6/1320(=0.004545..)(秒)で波が重なることになります。
つまり440Hzの波を下図とすると、
Wave1_2

この一つの周期が1/440(秒)なので、この図は2/440(=0.004545..)(秒)の幅です。

つぎに1.5倍の周波数である660Hzの波を重ねると・・・

 

Wave2

このように波の高い部分が揃うタイミングが重なる周期が上記で計算した0.004545...(秒)ということが視覚的にわかると思います。

同じように440Hzと550Hzでは、それぞれ5/2200(秒)、4/2200(秒)となり、20/2200(=1/110=0.009...)(秒)で波が重なります。
さて、ここで440Hzに対して、660Hz(完全五度)と550Hz(長三度)はどちらが綺麗に聞こえるかと言えば、弦楽器や管楽器を演奏しているかたはご存知でしょうが660Hzの方です。
実は、上記での計算結果で、少数の部分を見てください。
綺麗な音の方は、この数字が小さくなっているのがわかります。
逆に濁った和音というのは、この数字が大きくなる。つまり波の一致する周期がどんどん長くなるために、濁って聞こえるわけです。
さらに、ここで気付くことが!
440Hzと660Hzでは3/1320:2/1320=3:2=660:440、440Hzと550Hzでは5/2200:4/2200=5:4=550:440となり、単純に綺麗な和音というのは周波数で判別でき、周波数比を分数にしたときに現れる単純な数字の最小公倍数が小さいほど、綺麗な和音に聞こえるということです。
ここは重要なので覚えておいてください。
以降ちょくちょく出てきます。
…とクォータートーンまで書きたかったのですが、全然足りないですね。
ではまた来週!

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