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2014年8月 9日 (土)

音楽と数学(対数) その2

さて前回のつづきで、今回はクォータートーンについて書きます。

前回は、周波数比を分数にして(約分した)際に現れる分母と分子の最小公倍数が小さいほど綺麗な和音になると書きました。
逆に考えると、例えば基音の周波数に対して、一オクターブに含まれる周波数は1~2倍の間に存在しますので、分母が6までの簡単な分数を考えると次のようなものがあります。
3/2,
4/3, 5/3,
5/4, (6/4), 7/4,
6/5, 7/5, 8/5, 9/5,
7/6, (8/6), (9/6), (10/6), 11/6
と、このぐらいで考えてみます。括弧でくくっているのは約分すると重複するものです。
上記の周波数比の音が、純正律かピタゴラスのいずれかに当てはまる周波数比になるものと、平均律と比較してそれらの音に近いものを考えて割り当ててみましょう。
3/2…完全五度
4/3…完全四度、5/3…長六度
5/4…長三度、7/4…●
6/5…短三度、7/5…ほぼ増四度、8/5…ほぼ短六度、9/5…ほぼ短七度
7/6…●、11/6…●
ここで●になっているところ、7/4、7/6、11/6はセントで言うと、平均律の12音のどの音からも30セント以上離れている周波数になります。
つまり、これらの周波数比の音は半音のさらに半分の音である、クォータートーン(四分の一音)に近い音になります。
さてこの3つの音がどの辺りにあるかをプロットしてみます。

 

Quarter

この図からわかるようにかなり平均律の音からは離れていることが、わかると思います。

セントに変換したのが次のグラフです。
Quarter2

このような単純な周波数比に、クォータートーンが存在するということは、これらの音が綺麗に聞こえるということです。つまりクォータートーンが音楽的に濁るか?と問われればそうでない場合も起こるわけです。

これらの音は平均律で調律されたピアノだとどう頑張っても出しようがないです。
今の音楽はほとんどが12音平均律かそれに準じた音階で作られています。実は分母をもう少し大きくすると、綺麗な和音になるクォータートーンがいっぱいあるということです!
ではこれらの音がどのようなものか知りたい人も多いと思うので、それぞれの音を基音との和音で順に聴いてみましょう。(今回は基音をCの音(≒262Hz)にしてみました)

「freq7_6_262.wav」(7/6)をダウンロード

「freq7_4_262.wav」(7/4)をダウンロード   

聞いてみれば解りますが、基音に近い方は濁って聞こえがちですが、それでもこの近辺の平均律音やピタゴラス律の音よりはうなり(波の重なりによって生じる本来の周波数以外の周波数の強弱)が聞こえません。
ちなみにこの濁りがちな7/6の比の周波数を一オクターブあげると、14/6=7/3で7/6よりも単純な周波数比になります。ちなみにその和音は次のようになって、濁りが少なくなるのがわかると思います。
なんかまだまだ音楽に可能性を感じませんか?今日はここまで。

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