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2014年3月15日 (土)

音楽と数学(べき数) その2

さて少し時間が空いてしまいました。久しぶりの音楽と数学シリーズです。
今回は前回のつづきで『べき数』について書きます。

前回、88鍵の一番左にあるAの音から順に周波数がどうなっているかを書きました。
最低音のAを1、その1オクターブ上を2として、その上3、その上4・・・、としてグラフにしたのが以下の図です。
Frequency1_2

いきなり難しい曲線がでてきましたね

これが前回、55×2n(2のn乗)(ただしn=0,1,2,…の整数)を継ぎ目のない(リニア―な)グラフとして描いたもので、『べき数』のグラフです。(ただしここではnを1から始めたので、n=N-1(N={1,2,3,...})として置き換えています)
例えばNが3の場合(nは2)を入れてみると、55×22=55×4=220となります。
同じように他の数字を当てはめると上の図になるわけです。
しかし曲線だとやはり理解しにくいと思います。確か「べき数」の授業は高校の理系でしかやらなかったはずですが。
そこで世の中には便利な対数グラフというものがあります。
1から10、10から100、100から1000、・・・という、桁を単位にして、同じ幅で表現します。それを使って、上の周波数図を描くと下のようになります。
Frequency2

細かい線がいっぱい出てきましたが、直線ですね

この細かい線が縦軸の桁を10に割った縦位置になります。
このグラフを初めて大学で使った時は、いろんなものが直線になるので感動しました。
さて、この縦軸が桁になっていますが、Aの音の周波数列、
{55, 110, 220, 440, 880, …}
を各数に底(てい)が2の『対数(logarithm)』で変換させると、(log2(55)、log2(110)、…という意味)
{5.7813...,6.7813...,7.7813...,8.7813...,9.7813...,…}
になります。(関数電卓でlnかlogで、ln(55)÷ln(2)かlog(55)÷log(2)で計算できます。)
うわっ!なんじゃこりゃ全然わかんねぇ!と思った人は多いのではないでしょうか?
しかし、よく見てください。Aの音の変換後の数列の、小数点以下が皆同じです。
実は、55×2nを、log2(底が2の対数)で変換すると、
log2(55×2n) => log2(55)+n
に変換されてしまうのです。log2(55)は5.7813...という定数なので、あとは0、1、2、・・・を足すだけで、変換後の数列になります。

ここで底を2にしたのは、音楽での1オクターブが2のn乗の周波数上にあるからです。

言い換えると、Aの音を下から1,2,3,…という数値に置き換えた場合、
Y=(N ー1)+5.7813... =N+4.7813...
というNの一次式(Yは周波数の対数)に置き換えられるということです。
一次関数は中学で皆習ったはずです。(忘れた人はここで終了(笑))
これを使って対数と実際の周波数を逆変換すると、12音平均律の各音の周波数を求めやすくなるのです。
まぁ対数自体は高校の理系で習うことですけど、これ以上難しいことは今後そんなに出てこない…はず。
今日はここまで

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