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2014年1月25日 (土)

音楽と数学(べき数) その1

そろそろ、音の高さと数学の関係について書こうかなと思っています。

多分インターネットでの音楽と数学の関連性で、一番に出てくるのが音の周波数比が簡単になるものが、綺麗な響きになると書いているものが多いと思います。
はて?ところで音の周波数比って何だろう?と思うのではないでしょうか。
ここはいきなり難しくなりますよね。
例えばある曲の基準音または基準ピッチが440Hz(ヘルツ)と言われることがあります。これを基準にした場合、88鍵ピアノの一番左端にあるA(ト音記号譜面でフラットやシャープがついてない場合のラ)の音の周波数はほぼ55Hzで、そこを起点とすると次のAが110Hz、その次のAが220Hz、その次のAが440Hzになります。そしてその後は880Hz、1760Hz、3520Hz、7040Hzと続きます。
つまり440HzのAの音は下から4番目のAの音です。
そしてその基準の周波数が442Hzになった場合は、Aの音で上記周波数を考えると下から
55.25Hz、110.5Hz、221Hz、442Hz、884Hz、1768Hz、3536Hz、7072Hzと小数が入ってきて一気に面倒くさくなります。
で、書いてませんでしたが、周波数とは1秒間の定期的な空気の振動数をHzという単位で表しています。
さてこれらの数字に法則があるのはわかるでしょうか?
簡単にするために、基準音が440Hzの方を使った場合、
{55, 110, 220, 440, 880, 1760, 3520, 7040,…}
の数列は、
55×2n(2のn乗)(ただしn=0,1,2,…の整数)
という式で表すことができます。
つまり2を底(てい)とするべき数に55をかけた数字が、基準音440Hzの場合のAの音の周波数になります。(べき数とは同じ数(底)を掛け合わせてできる数のこと)
ちなみに基準音が442Hzになった場合は、55(=440/8)が55.25(=442/8)になるだけです。
数列だとわかり難かったものが、一つの式で表せるということがわかります。
そしてAを基準音にすることで、音階内の他の音高の周波数を決めることができ、全て数式表すことができます。
では他の音名の周波数はどうなるのか?とか綺麗な和音はどういう周波数関係か?とかミュージックチューナーでのセントとどう関係があるのか?と疑問はいっぱい出てくるとは思いますが、今日はここまで

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