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2018年9月 6日 (木)

音楽と数学(割り算) その1

実は、音楽と割り算は意外と密接な関係があります。
すでに「音楽と数学」の記事を読んだことのある方は何度か目にしているはずです。

まずリズムについて考えてみます。

楽譜に表記される4分音符、8分音符などは、1小節の時間を4つや8つに割って得られます。
また、3連符や5連符は、1拍を3つや5つに割るというのは、ある程度音楽をやっている方はわかるでしょう。

このように、リズムに関しては、ある時間を均等に分割したタイミングで音を発することで、曲を演奏することができます。

次に、音高について考えてみます。

音の元になる音波の周波数を考えると、例えばチューナーでAの音を440(Hz)とした場合、1オクターブ上は同じくAの音で880(Hz)で、1オクターブ下の音は同じくAの音で220(Hz)になります。以上は、頭の中で440に対して、2を掛けたり割ったりするとこの答が出てくることがわかります。

そして平均律という音階は、1オクターブを均等に12分割してできた音階です。
そもそも1オクターブというのは、ある周波数の音があるとして、その音の2倍の周波数の音は1オクターブ上になり、0.5倍の周波数だと1オクターブ下になります。
これらのことは、すでにブログに書いていますが、周波数と音程の関係は指数関数で表されるため、以下のような式になります。(Nは整数。Nを1で増減することで半音を表す。)

f(N) = 440 ×2(N/12)(2のN/12乗)

詳細はブログを参照(ここをクリック)していただくとして、ここで1オクターブを均等に12個に分割するというのは、上の式のN/12に現れています。
ここにN=0とN=12を入れると、N/12は0と1になり、このときの2(N/12)の値は1と2になります。N=24の時は4倍、N=-12の時は0.5倍。これで1オクターブの周波数がNが12増えるたびに2倍になり、1オクターブを12分割した分が半音になることがわかります。

平均律ではない音階としては、純正律やピタゴラス律があります。これらは、音程自体が周波数の割り算で表されます。
例えばAの音に対して完全五度の音であるEは、Aの周波数に対して3倍したものに対して、2で割って1オクターブ内の周波数に収めます。

つまり、A=440(Hz)とすると、

E = 440 × 3 / 2 = 660 (Hz)

と言うことになります。

さて、ここまでは今までの復習ですね。
音楽と割り算の関わりが少しわかったのではないでしょうか?

では、次回の音楽と数学(割り算)は、12音階でないものを探求してみます。

お楽しみにscissors

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