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2018年7月28日 (土)

音楽と数学(グラフ理論) その2

お待たせしました。その1(リンク先)を書いたので、次のネタは実は決まっていましたsun

前回はブルースのコード進行をグラフ理論でどのような図になるかを書きました。

グラフ理論では、点(ノード)と線(エッジ)によって、複数のものに関する関連性を示すことができます。また図で書いたものを別のデータ形式にすることができます。このデータ形式を比較することで同じ構造・構成かどうかが一目でわかります。

グラフ理論で用いるグラフは、大きく分けて有向グラフと無向グラフがあります。

Cのブルースのコード進行は、C→F→C→G→F→Cと前回も書きましたが、前回の図をみても、それぞれのコードの関係に向きがあるのは直感でわかるのではないでしょうか?

またここで行列が出てきます。実は、グラフ理論の別のデータ形式というのは行列です。Cのブルースのコード進行で、Cを1列と1行、Fを2列と2行、Gを3列と3行の隣接行列で表すと、下の図のようになります。1は繋がりがあり、0には繋がりがないという意味です。また今回は有向グラフですので、行が繋がる元で、列は繋がる先を意味します。ちなみに無向グラフの場合、繋がる元と繋がる先が逆にもなり双方向になるため、対称行列(行列の対角線を中心にして値が同じもの)となります。

Cfg

同じコードへの移動は常に可能ですので1を入れます。C→Fの繋がりは、1行2列目に1が入ります。同様にほかの繋がり部分F→C、C→G、G→Fに1を入れ関係のない部分は0にします。

見てわかるように0が2箇所ありますね?
これは、F
G、GCの進行がないということです。
仮に、Cのブルースを無向グラフで表した場合には、G→FとC→Gの進行はあるので、0のない行列になって全てが1で埋まってしまいます。
そうなると曲進行の特徴はわからなくなります。

今回はCのブルースという簡単な進行を示してみましたが、実はブルースのコード進行というのはキーが移動している(転調している)という特殊な進行です。
またCのブルースと言っても、実際にはC7も適用できるので、属7の一発もののキーが3つあると考えることもできます。

実はこのコード進行は、色々と奥深いものがあるのですが、それはまた別の機会に。coldsweats01

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