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2017年10月 7日 (土)

音楽と数学 (比例) その2 

涼しくなって頭がスッキリしてきたので、連続で音楽と数学を書きます。
「確率」を書いていたところで、気が変わったので、ちょっと置いといて、「比例」について書きます。

「比例」については、以前一回書いています(参照)。
今回はその2ということで、もう少し楽器に近い物理的なところを書きたいと思います。

音の速さは中学で習ったはずですよね?
音楽の元になる、周波数や波長については、高校の物理の範囲なのでちょっと難しいかもしれませんが、覚えておくと役にたつかもしれません。
周波数は耳で聞けば音の高さで認識されるため、ある程度はわかりますが、波長なんて聞こえないし、見えないし、味もしないし、匂いもしないので全然わかりませんね。
あの人とは波長が合わないとか言うこともありますが、その場合も見えないから適当なことを言っているとしか思えませんhappy01

多分波長に関して、人間が認識しやすいのは管楽器でしょう。
例えば、周波数が高い楽器は管が短く、低い楽器は管が長い、または周波数が高い楽器は小さめで、低い楽器は管が大きいと言うイメージは、トランペットとチューバを考えるとわかると思います。
ちなみにBbのトランペットの管の長さは1.37mで、Bbのチューバの管の長さは5.4mぐらいです。ちょうど両方Bb管なのでこの数字の比率は5.4/1.37=3.94..で大体4倍ぐらい違うと言うことです。
ここで正確に4にならないのは、管楽器の場合は管の太さに比例する開口端補正というものが生じるためですが、詳細はググって調べてみてくださいcoldsweats01
トランペットは細く、チューバは太いので、トランペットに0.01m(=1cm)、チューバに0.12m(=12cm)の開口端補正を考えてみると、5.52/1.38=4でぴったり4倍になります。

管の長さが半分になると1オクターブ高くなることはピッコロとフルートの関係を見ればわかりやすいと思います。トランペットとチューバのように、管の長さが4倍違う場合は、2オクターブ違うと言うことですね。

このことから、周波数(f)と波長(λ)にはお互いに関係がありそうだと言うことは薄々感じると思いますが、これに波の速さ(v)を加えると、以下の式で表せます。

f(Hz) = v(m/s) / λ(m)  … (1)

(1)にあるように、vの単位は(m/s)でλは(m)なので、単位だけで計算すると、fは(1/s)で秒の逆数になっていますが一般的にはHz(ヘルツ)という単位になります。(mはメートル、sはseconds=秒を表しています)
そして中学で習った空気中の音波の速さ(m/s)は、

v ≒ 331.5 + 0.6 × T  (Tは℃(気温)) … (2)

と表せます。つまり気温によってほぼ一定ということです。
ここで(1)式と(2)式を合わせ、空気の気温を20℃とすると、

f(Hz) ≒ 343.5(m/s) / λ(m) … (3)

となり、音波の伝達物質が固定の場合、波長(λ)と周波数(f)は反比例の関係になることがわかります。

ただし、これが空気ではなく固体や水中やヘリウムガスの中の場合では、速度が変わり(3)式の343.5の部分が大きい値(塩素や二酸化炭素の気体中では小さい値)になります。

また、ヘリウムガスを吸ったときに声が高くなるのは、肺の中から口に出すまでの間の空気の中での音波の伝達が速くなるために周波数が増加します。
同じく、管楽器の場合も音の発生源である管の中を伝わるので周波数が増加します。
ところがギターや打楽器、スピーカーから流れる音の場合は音の発生源には影響を与えません。そのため水中やヘリウムガスが充満した空間で音楽を流しても、周波数は変わりません。
その代わり音速に波長が変わります。

ということで、(1)の式から、同じ音がなっている(周波数が一定)場合で、音波の速さが大きくなったときには、波長も大きくなるということです。この場合は、(1)を変形した式で考えるとわかりやすいと思います。

v (m/s) = f(Hz) × λ(m) … (1)'

(1)'では、 f が固定の場合には、速度(v)が大きくなるときには波長(λ)が大きくなるという比例関係があることがわかります。

ちなみに音波というのは、伝播する物質の振動、つまり圧力変化で伝わるため、物質がない真空状態では音は伝わりません。
あとパトカーや救急車のサイレンが、近づくときと遠ざかるときで音が下がる、ドップラー効果はご存知でしょう。
これは音源の車の前方では、音源の移動による速度分だけ、波長が圧縮されるため音高が上がり、後方では波長が伸びるために音高が下がります。

さらに究極のドップラー効果で、音速を超える飛行機から発生する音の斜め前方では、音の速さよりも音の発生源の移動の方が速いために、波長が圧縮され空気の壁となるために、衝撃波という強烈な空気圧が発生するわけです。

今回は数学というよりは物理ですね。
ちょっと難しかったかもしれませんwave

ではまた。

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