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2017年3月25日 (土)

音楽と数学(行列)その3

さてやっと色々と一息ついたので、久しぶりに音楽と数学のつづきで、少しずつ演奏と行列式がどんな関係になるかを書いていきます。

今回は、転回形について。

転回形については詳しいページが多分あると思うので、詳細は省略しまして、普通にCメジャーの和音を考えた時に普通は下の音からCEGとなるところが、ルート音をEにしたもの、例えばEGCとなるのが第一転回形。ルート音をGにしたもの、例えばGCEとなるのが第二転回形になります。

ではまず第一転回形を元の和音からの変換として行列を考えると次のようになります。前回同様、「行列(その2)」での音の出ないαを入れています。ここでも1はK0 を表していて、音程の変化がないことを意味します。またK12は1オクターブ上を表しているので、1オクターブ上の音名には’(ダッシュ)をつけました。

Matrix_c1

次に第二転回形を考えると次のようになります。

Matrix_c2

実はK12は2を表しているので、0と1と2だけのシンプルな行列になっています(すみませんが頭の中で2に変換してくださいcoldsweats01)。

実は4和音でも転回形は同じように0と1と2の行列が成り立ちます。
さて、ではここで第一転回形だけに注目して、逆の変換を考えてみます。-1は元の行列の逆行列を表します。

Matrix_c1_mono

ここで4次元の逆行列を自分で計算するのはとても面倒臭いので、ここはCASIOのサイトの逆行列計算ツールを使って、答えを先に求めましたcoldsweats01

逆行列を計算して、第一転回形の解を変換するとっ!!

Matrix_c__1

前述の-1のついた行列が左辺の行列と同じものになります。
こちらは0と1と1/2(K-12は1/2を表しています)だけの行列になり、元の和音に戻ることがわかりました。数学を知っていれば当たり前のことなのですが面白いでしょ?

というより逆行列って何?

ですよねーtyphoon

今日はここまで(笑)。

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