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2017年1月16日 (月)

音楽と数学(引き算)その2

音楽と数学(行列)の途中ですが、今後行列でも和音においての構成音とその1オクターブ上の音では音楽での意味合いが変わりますので、例えば2度と9度の違いについて書きたいとおもいます。前回の引き算(リンク)では、基準音との差を書きました。
前回書き忘れた部分もありましたので追記します。

2度はドレミのドを基準とした場合全音上のレの音、9度は2度の1オクターブ上のレの音になります。

・・・と、その前に、耳で聞いてわかる半音とその1オクターブ上の音を考えてみます。
ドとドの半音上の音を和音の出る楽器で弾いてみてください。
音がうなるのがわかるはずです。

これは、2つの音の周波数の差分がうなりの周波数になるからです。(うなりとは2音で生じる合成音)
つまり前回の「音楽と数学(引き算)」での音のズレはうなりとして認識されます。
弦楽器を扱っている人はいつものことでわかると思います。

計算しにくいので、いつも通りA=440(Hz)を基準にして考えると、半音上のBbは純正律では、16/15周波数が上なので、

Bb = 440×16/15=469.33...(Hz)

になり、うなりの周波数は、

469.33... − 440 = 440 × (16/15 - 1) = 440 × 1/15 =  29.33...(Hz)

29(Hz)あれば音として聞こえます。この差分の周波数の音を、差音と言います。
次に、1オクターブ上の音を弾いてみてください。半音の時ほどの気持ち悪さはないはずです。
これも上記と同様に考えると、1オクターブ上の純正律でのBbの音は、

Bb = 440×32/15=938.66...(Hz)

になり、うなりの周波数は、

938.66... − 440 = 498.66...(Hz)

この音は、440 × 9/8 = 495(Hz)に近いですね。純正律では基音の9/8の周波数は、2度に相当します。この場合には2つの音から生じるもう一つの音で、綺麗な響きにはならないですが、うなりには聞こえません。
では次に当初の2度と9度を考えてみましょう。同じくA=440(Hz)を基準にすると、

B = 440 × 9 / 8 = 495 (Hz)

で差音は、

440 × 1/8 = 55(Hz)

ですが、何か気付いたでしょう?
55(Hz)もAの音ですね。ということはこのうなりは基音と重なるために濁りません。実は純正律やピタゴラス律では、基本的に分母が2のべき乗か分子が2のべき乗になるため、1オクターブ内では差音が、基音かもしくはもう一方の音と重なり、うなりません。
では、同様に9度の音を考えると、

B = 440 × 9 / 8 × 2(2は1オクターブ変換時の定数) = 440 × 9 / 4  = 990 (Hz)

で差音は、

990 - 440 = 440 × 5/4 = 550(Hz)

ここで現れる5/4というのは、実は純正律の基音と長3度の関係ですので、Aに対してC#の音になります。

さて、ここまで読んで気付いたと思いますが、2度と9度での音の重なり方が異なることから、響きが異なることがわかります。

さらに同じように考えると、ポピュラーやジャズでは、あるコードネームに対して、構成音の下からの順番を変えることが普通ですが、コードの響きが似て非なるものになりますので、気をつけましょうdanger

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