« 一弦さん Ver2 | トップページ | 音楽と数学 (関数) その3 »

2016年6月 9日 (木)

音楽と数学 (関数) その2

久しぶりに音楽と数学です。
音楽と数学で「関数」について書いたのは、ほぼ2年前(リンク)でした。
とりあえずそれを「その1」として、一応つながりはあるので、今回は「その2」ということで、これから音の変化について周波数を基本にして書いていこうと思います。

みなさんご存知のように、ピアノの真ん中あたりの「ラ」の音は440Hzぐらいの周波数として知られています。

そしてその1オクターブ下が、220Hz。1オクターブ上が880Hzになります。2オクターブ上が1760Hzということで、一般に用いられる12音平均律での周波数というのは、440×2n/12 (nは整数)で表すことができるのは、このブログで何回か書きました。

ここでそのピアノの真ん中の「ラ」の音の周波数を A という定数で表してみると、

A = 440 = 440×20= 440×20/12(Hz)

2の0乗は1ですからこのようになります。そして1半音下の「ラのフラット」の音は、

Ab = 440×2(-1/12)(Hz)

半音上の「ラのシャープ」の音は、

A# = 440×21/12(Hz)

という周波数になります。これは440Hzを中心に、1オクターブを均等に12分割した場合、2の12分の1乗単位で、増減することで、12音階の各周波数を表せるということです。

さらに面白いのは、上記の音の関係は次のようになるということです。

Ab = A×2(-1/12) = A#×2(-2/12)

A# = A×21/12 = Ab×22/12

この関係をもっと広げて、上の半音ずつ上の音B,C、下の半音ずつ下の音G,Gbまで書いてみると、

Ab = A×2(-1/12) = A#×2(-2/12) = B×2(-3/12)= C×2(-4/12)

A# = A×21/12 = Ab×22/12 = G×23/12 = Gb×24/12

という関係になります。2の指数が12分の1単位で変化することがわかると思います。

これを関数として書くと、ある音 T を半音下げる関数は、

f(T) = T × (21/12(-1) = T × 2(-1/12)

ある音 T を半音上げる関数は、

f(T) = T × 21/12

ある音 T を完全5度(半音7つ分)上げる関数は、

f(T) = T × (21/127 = T × 27/12

ある音 T を完全8度(半音12個分)下げる(つまり1オクターブ)関数は、

f(T) = T × (21/12(-12) = T × 2(-12/12) = T × 2(-1) = T / 2

ここで、 21/12 を定数 K で表した場合、以上の関数は順に、

f(T) = T × K(-1)、 f(T) = T × K、 f(T) = T × K7、 f(T) = T × K(-12)

となり、定数 K の整数乗で表現できることがわかります。また指数のべき乗は乗算、底が同じ指数の乗算は、指数部分の足し算になることは、高校のテストにも出ると思うので、覚えておいて損はありません。
ところで f って何?という方もいらっしゃると思いますが、数学では一般的に関数のことを f (function)で表して、 カッコの中にその関数に与えるパラメータを書きます。
ソフトウェアの場合は、f に機能を区別する名前をつけて、カッコの中に複数のパラメータを設定することで機能が実現できます。

次回以降は、1音ではなく複数音の場合にはどうなるか?実際の曲の進行やコード進行に割り当ててみるとどうなるか?
ではまたhappy01

« 一弦さん Ver2 | トップページ | 音楽と数学 (関数) その3 »

音楽と数学」カテゴリの記事

コメント

なるほど!

お!ごんあじさんおひさしぶりです!

コメントを書く

(ウェブ上には掲載しません)

トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.cocolog-nifty.com/t/trackback/131370/63755155

この記事へのトラックバック一覧です: 音楽と数学 (関数) その2:

« 一弦さん Ver2 | トップページ | 音楽と数学 (関数) その3 »

フォト

最近のトラックバック

無料ブログはココログ