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2016年6月26日 (日)

音楽と数学 (行列) その1

タイトルが変わりました。

ただし「行列」という数学は、高校の教育課程から外れるらしいので、ちょっと残念です。
しかも音楽を真面目に勉強した人たちは、だいたい学校では数学ができなかった人たちだったり、数学がものすごくできた人たちは、ソフトウェア作りでブラック企業に入社し、平日深夜や土日も休まず働いているため、音楽演奏や音楽理論を習得する人などは皆無だと思います。
そう考えると私のように、音楽演奏や理論も習得できて、数学も十分に勉強できた人にはあまりお目にかけることはなく、私とこの手の会話ができるお友達はいなくてあまりにも寂しいので、もしいらしたらご連絡いただければと思います(笑)

以上のことから、ますますこの先に私が書くことを理解できる人が減るのは必至ですが、皆さんにはもう諦めてもらいまして、さらに知りたい場合は自分で本を読んでもらうか、私の戯言を子守唄としてお休みいただければ幸いです💤

何しろ、大学時の卒論のテーマは、「4×4行列によるポリゴンエンジン」で、最初に入った会社では、電子CADの幾何学演算で、3×3行列を使って、例えばプリント用の座標データを画面に表示したり、画面で入力した座標をプリント用の座標に変換する部分を作っていました。 この技術は普通にPCや端末と内部データの変換を行う際に使う数学です。 そして、ここのところは行列を使ってデータ推定を行っているし、多分一生、行列からは逃れられそうもありません。多分得意分野だと思いますが、ラーメン屋やバーゲンなどの行列は苦手ですnoodle

行列というものはどういうものに便利かというと、行列は複数の値を変換して複数の結果を出力する。または、ある複数の結果がある時に、元の値を推測するという場合に非常に役立ちます。 その場合に、前回までの「関数」では一対一の変換を扱うのはいいのですが、行列のように複数の値を扱うには、関数を複数用意するしかありません。

前置きはこのぐらいにして、本題に入ります。
前回の和音の変換を行列(今回はまだ1行3列と3行1列)を使って表すと、

f(C) = C × K(-1) = B   ・・・  (i)
f(E) = E × K(-2) = D   ・・・  (ii)
f(G) = G × K0 = G × 1 = G   ・・・ (iii)

という3つの式で表せました。さて、この関係を行列で表すとどうなるか?というと、下のようになります。

Mat1・・・(iv)

多分何のことかわかりにくいでしょうから、軽く説明します。
数学では、数字や記号を複数の行に並べて書くことで、式の「×」という記号を省略表記します。
この場合3×3の行列で、左上から右にK(-1)、0、0となっていて、これらがそれぞれ、C、E、Gと掛け算をして、それぞれの要素を足し算した結果がBになるということを表しています。
0をかけるということは、値が消えるので、前述の(i)の式と同じになることがわかりますね。
つまり、
C × K(-1) + E × 0 + G × 0 = C × K(-1)
ということを表しています。
同じように2列目を考えると、左から0、K(-2)、0に対して、C、E、Gと掛け要素を足した結果がDで(ii)の式。
3列目も、左から0、0、K(-0)に対して、C、E、Gと掛け要素を足した結果がGで(iii)の式になります。
つまり、(i)(ii)(iii)の式をまとめたものが(iv)の行列ということです。

ちなみに行列では縦方向が「行」で、横方向が「列」なのは、MicrosoftのExcelと同じです。

以上のように行列を使うと和音の指の動きが表せるようになりました。
つまりあらゆる音程と指の動きを対応させて、曲全体のコード進行が表せるということになります。

というわけですが、何かご質問はございますか?

例えば、だいたい曲は最初は音がないし、指3本だけ使っていたのに、次には4和音になったり、またそれが逆の場合はどうするんだ!?と思った人。
鋭い!!

・・・が、今回はこの程度で。行列を使うといろいろ面白いことがわかってきますよ。
でも、もはや誰もついてこれまいbud

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コメント

着いてきてますよ~
続き楽しみにしてます‼

神崎様ありがとうございます!読んでいただいている人がいるだけで、感激です。ただ行列の図の作成に時間がかかるので、続きは自分に暇がある、冬休みあたりを目標にということでご了承くださいcoldsweats01

いやいや、ついて行きますよ!
オクターブがK^12で、転回が効くので、同一視する写像で割る(商集合)ことができること(12によるmod化)と、さらにその後音のセットを、考えることでコード機能の「群論」に持ち込めそうですね!

おっと!平鍋さんありがとうございます。ちょっと来年は真面目に取り組まないといけないかな(笑)
確かにコードに関してはmod化はありだと思いますが、12で割るのは早計かもしれません。というのも2度と9度、4度と13度では意味も響きも違うので、音楽+人間工学的な部分も必要ではないかと感じています。今後とも助言お願いしますhappy01

上記は4度と13度でなく4度と11度の間違いです。失礼しましたcoldsweats01

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