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2013年10月26日 (土)

音楽と数学(最小公倍数)のつづき

2週前にも書きました内容(http://himenon.cocolog-nifty.com/blog_ver1/2013/10/post-aa81.html)を、もう少し音楽的な方向から説明を開始したいと思います。

Crochet_2

 

楽譜の4分音符(左図)は皆さん見たことがあると思います。ところで4分音符とは言いますが、何に対する4分だと思いますか?
4つに分けるということはその4倍は1になります。その1に当たるものは、『4拍子の1小節』になります。

4分音符=1/4(4分の1の音の長さ)が2倍の長さになる場合、1/4 × 2=1/2です。
楽譜が読める人なら、4分音符の2倍の長さは2分音符というのがわかると思います。
もうお気づきでしょうが、1/2の分母が2になっています。
8分音符は4分音符の半分の長さです。つまり1/4 ÷2=1/8です。ちゃんと8という数字がでてきます。ここまではOKですね。

さてここから数学で考えます。2週間前に書いた手拍子を2分音符手拍子と付点2分音符の手拍子と考えて、それぞれ2分音符(1/2の音の長さ)と付点2分音符(1/2(2分音符) + 1/4(4分音符)⇒3/4の音の長さ)として、それぞれの音の開始のタイミングを式で表してみると、

2分音符 ⇒ 1/2 ×A (A=0,1,2,…)

付点2分音符 ⇒ 3/4 ×B (B=0,1,2,…)

AとBが0の時は、どちらも0なので最初のタイミングは一致しているとみなせます。そして2分音符では音の開始タイミングは式から、

{0, 1/2, 1, 3/2,  2, 5/2(2と1/2), 3, …}で、小節の頭とその真ん中で音が開始することがわかります。
付点2分音符では、

{0,   3/4,  3/2,   9/4(2と1/4),   3, …}で、2つの一致する位置は

{0,          3/2,                       3, …}です。

もうすでに判らなくなっているかもしれませんが続けます。
一致するタイミングが0の次が3/2ですので、2つの音が重なる周期は3/2で、音符で言うと、3/2=1+1/2=全音符+2分音符の音の長さ、つまり次に重なるのは2小節目の真ん中、その次が3小節目の頭というのがわかると思います。

これを数学の問題にすると、「1/2 × A = 3/4 × B」が成り立つ正の整数A,Bを求めよみたいになるのでしょうか?

数学が嫌いな人はすでに意識を失っていると思いますが、さらに続けます。

この式の両辺に4をかけると2×A=3×Bになります。ここで両辺を2と3の最小公倍数で割ると、1/3 × A = 1/2 × Bになります。

分子を1にしたわけは、AとBが正の整数なので、共通するタイミングが0回目から始まり、1,2と整数で続く必要がありますが、分子が1だとAが3の倍数、Bが2の倍数であれば、両辺が整数になるということがわかります。
こうすることでA=3×n、B=2×nと置き換えると、両辺ともn=nで成立して、nが何回目かの周期を表し、次に一致するまでAは3回、Bは2回手拍子をするということになり、6拍周期で一致することになります。
で、先の問題の答は

A=3n、B=2n ただし n={0,1,2,…}

うーむ。やはり難しいか。

ではさらに数学が苦手な人を無視して、ちなみにこれに(全音符(1)+1拍(1/4)⇒5/4)の手拍子を追加した場合、「1/2 × A = 3/4 × B = 5/4 × Cが成り立つ正の整数A,B,Cを求めよ」となるので、

すべてに4をかけて、
2A=3B=5C
共通の最小公倍数で全てを割ると
1/15 ×A = 1/10 ×B = 1/6 ×C
∴A=15n、B=10n、C=6n ただし n={0,1,2,…}

何か久しぶりに∴の記号を使った気がします。
結局2拍の人は15回たたくと一致するので、30拍周期で3人が一致するということになります。
直接説明すればもう少しわかりやすくなると思いますが、今日はこの辺で!

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